벡터 공간

벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.

1. 정의
2. 부분공간
2.1. 선형결합과 선형독립
3. 생성
4. 기저
5. 선형사상
6. 영상

1. 정의 ✎

체 F와 집합 V에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.

벡터 덧셈: \mathbf x, \mathbf y \in V에 대해 \mathbf x+\mathbf y \in V
스칼라 곱: \mathbf x \in V, a\in F에 대해 a\mathbf x \in V

이 때 \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V와 a, b \in F에 대하여 아래의 성질을 만족하면 V를 체 F 위의 벡터 공간이라고 한다.

덧셈에 대한 결합법칙	`(\mathbf x+\mathbf y)+\mathbf z=\mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z)`
덧셈에 대한 교환법칙	`\mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x`
덧셈에 대한 항등원	`\forall \mathbf x \in V,\; \exists \mathbf 0\in V\; s.t. \; \mathbf x+\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf x=\mathbf x`
덧셈에 대한 역원	`\forall \mathbf x \in V,\; \exists (\mathbf {-x})\in V\; s.t. \; \mathbf x+(\mathbf {-x})=(\mathbf {-x})+\mathbf x=\mathbf 0`
스칼라 곱에 대한 결합법칙	`(ab)\mathbf x=a(b\mathbf x)`
스칼라 곱에 대한 항등원	`1\cdot \mathbf x=\mathbf x`
벡터 덧셈에 대한 분배법칙	`a(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y`
스칼라 덧셈에 대한 분배법칙	`(a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x`

위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, F의 원소들을 '스칼라', V의 원소들을 '벡터'라고 부른다.

2. 부분공간 ✎

벡터공간 V의 부분집합 W에 대해

1. O\in W
2. \forall \mathbf x, \mathbf y \in V, \mathbf x+\mathbf y \in W
3. \forall a\in F, \forall \mathbf x \in V, a\mathbf x\in W

의 세 조건을 만족할 때 W를 V의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.

2.1. 선형결합과 선형독립 ✎

벡터공간 V의 원소들 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n에 대해 a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\cdots ,a_n\in F)꼴의 합을 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다.

a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n=0\Leftrightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0일 때, \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n가 일차독립이 아니면 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.

3. 생성 ✎

벡터공간 V의 원소들 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합으로 생성되는 V의 부분공간을 \{\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n\}의 생성(span)이라한다. V의 부분공간 W의 임의의 원소가 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합으로 나타내어지고, \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 임의의 선형결합이 W에 속할 때, \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n는 W를 생성한다고 한다.

4. 기저 ✎

벡터공간 V의 원소들 \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n이 선형독립이고 V를 생성할 때, \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n를 V의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. V의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, \dim V로 나타낸다.

5. 선형사상 ✎

체 F에서 정의된 두 벡터공간 V, W에 대해 V에서 W로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다. V에서 W로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를 \mathcal L (V, W)로 표시한다. 선형변환은 V의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.

6. 영상 ✎

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